Konya’da doğdu. Recep Ağazadelerden Ahmet Bey ile Şerife Hanım’ın oğludur. İlk ve ortaöğrenimini Konya’da yaptıktan sonra 1938 yılında İstanbul Haydarpaşa Lisesini bitirdi. 1941-42 öğretim yılında da Ankara Üniversitesi Hukuk Fakültesinden mezun oldu. Avukatlık stajını Konya’nın tanınmış kültür adamlarından H. Rüstem Sungur’un oğlu Av. Hasan Halis Sungur’un yanında tamamladı.
Türk Ticaret Kanunu’nun ilk şerhlerinden birini yazan Hasan Halis Sungur ile birlikte İlmî ve Kazai İçtihatlardergisini yayımladı. Dergi, hukuki içtihat ve makaleler hususunda Konya basınında ve hukuk yayıncılığında bir ilktir. Hasan Halis Sungur’un yazıhanesini İstanbul’a naklinden sonra da Ergun 1955 yılına kadar dergiyi yayımlamaya devam etti.
Besim Ergun, 1944 yılında, Ekekon* gazetesinin yazı işleri müdürlüğünü üstlendi. Bir yıl sonra da Şevki Ergun’dan* gazeteyi devraldı. Beş yıl sonra gazeteyi kapatan Ergun, 1951 yılında serbest avukatlığa başladı.
Besim Ergun, 1945 yılında, Konya’nın tanınmış tüccarlarından Konya Bonmarşe Mağazasının sahibi Ahmet Sabuncu’nun kızı Sabahat Hanım (1924-1974)’la evlendi. Bu evliliğinden iki çocuğu, Ahmet (1952) ve Feyza (1955) oldu.
Konya Gazeteciler Cemiyeti’nin kurucularından olan, Konya Turizm Derneği Yönetim Kurulunda da uzun süre görev yapan Ergun, hazır cevap ve nüktedan kişiliği ile tanındı. En büyük zevki de çiçek ve meyve yetiştirmekti.
6 Haziran 1977 tarihinde vefat eden Besim Ergun, Üçler Mezarlığı’nda metfundur.