Manisa Mevlevihanesi’nde doğdu. Altı yaşındayken babası Abdülhalim Çelebi’nin makam çelebisi seçilmesi üzerine ailesiyle birlikte Konya’ya geldi. İlk tahsilini burada yaptıktan sonra İstanbul’a giderek Galatasaray Sultanisinde okudu. Babası Abdülhalim Çelebi, Tekke ve Zaviyelerin Kapatılması Kanunu çıkmadan önce Gazi Mustafa Kemal Atatürk ile yaptığı görüşme neticesinde oğlu Mehmet Bâkır Çelebi’yi Halep Mevlevihanesi Şeyhliğine tayin etti. 1925 yılında Abdülhalim Çelebi’nin vefatı üzerine diğer şeyhlerin de onayı ile Mehmet Bâkır Çelebi makam çelebisi seçildi. Türkiye’de tekkelerin kapatılması üzerine Konya’nın Mevlevihanelerin merkezi olma sıfatı, Halep Mevlevihanesi’ne geçerek, Mevlevihanelerin şeyh atama ve azilleri buradan yapılmaya başladı.
Mehmed Bâkır Çelebi makam çelebiliği sırasında vefat eden Şam Mevlevihanesi Şeyhi Sait Dede’nin yerine oğlu Şemseddin Dede’yi, Trablusşam Mevlevihanesi Şeyhi Şefik Dede’nin vefatı üzerine yerine Mehmet Enver Dede’yi ve Kıbrıs Mevlevihanesi’ne Şamlı Selim Dede’yi tayin etti.
Mehmet Bâkır Çelebi’nin, Halep Mevlevihanesi’nde manevi görevlerinin yanı sıra millî görevleri de vardı. Hatay’ın anavatana katılmasında önemli bir rol oynayan Mehmet Bâkır Çelebi’nin, 1939’da ziyaret için İstanbul’a gitmesini fırsat sayan Mandater Fransız Devleti, onun Suriye’ye dönüşüne mani olarak onu istenmeyen kişi ilan etti. Mehmet Bâkır Çelebi Suriye’ye giremeyince, kardeşi Şemsülvahit Çelebi’yi kendi yerine vekil atadı. Bir müddet Konya’da, daha sonra İstanbul’da yaşayan Mehmet Bâkır Çelebi’ye Türkiye Cumhuriyeti Devleti başardığı millî görevler dolayısıyla örtülü ödenekten mebus maaşının iki misli tutarında bir maaş bağladı.
23 Nisan 1944’te geçirdiği kalp krizi neticesi vefat eden Mehmet Bâkır Çelebi, Yenikapı Mevlevihanesi’ne, babası Abdülhalim Çelebi’nin yanına defnedildi.
Mehmet Bâkır Çelebi’nin, Halep askerî valisi Çerkez Mehmet Bey’in kızı İzzet Hanım ile evliliğinden Celaleddin ve Fatma adlarında iki çocuğu oldu. 1939’daki Türkiye ziyareti sonrası Suriye’ye dönüşü yasaklandığında İzzet Hanım, çocukları ile birlikte Halep’te Mevlevihane’de kaldı. İzzet Hanım, çocuklarını burada büyütürken onları Fransız okullarında okutup, hem manevi hem dünyevi ilimleri almalarını sağlamıştır.