Mehmet Paşa’nın hayatı hakkında kaynaklarda fazla bilgi bulunmamakla birlikte onun aslen Burdurlu Polat Mehmet Paşa’nın oğlu olduğu belirtilir. Mehmet Paşa, babasının lakabı olan Farsça “pûlâd” (polat) kelimesinin Türkçe karşılığı olan “çelik” lakabıyla anıldı.Önce kapıcıbaşı daha sonra da beylerbeyi olup, Hamid sancağı mutasarrıflığı vazifesi kendisine tevcih edildi. 1156 yılının Zilhicce (Ocak 1744) ayında kendisine vezirlik payesi ihsan buyrularak 1158 Ramazanında (Ekim 1745) Konya valisi oldu. Fakat bu görevine başladıktan sonra bir yıllık süreyi bile doldurmadan Eylül 1746’da yine vali olarak Diyarbekir’e tayin oldu. Kısa bir müddet orada görev yaptıktan sonra 1747 Haziranında Van’a gönderildi. Yine aynı yılın Eylül ayında ise Karahisar-ı Sahib’e tayin oldu.
Mehmet Paşa 1161 yılı Şaban (1748 Ağustos) ayında Anadolu valisi oldu. Fakat burada da ancak iki ay kadar vazife yapabildi. Aynı senenin Ekim ayında Trabzon Valiliğine getirildi. Tayin edildiği yerlerde niçin çok kısa görevde kaldığı pek anlaşılamayan Mehmet Paşa Trabzon Valiliğinde de bir ay kadar kalıp, aynı yılın Zilhicce (Kasım) ayında Rakka Valiliğiyle görevlendirildi. Nihayet Rakka’da iki yıl kadar görev yaptıktan sonra Zilkade 1163 (Ekim 1750) tarihinde Aydın Valiliğine atandı. İki yıla yakın burada kalan Mehmet Paşa, 1165 Şevvalinde (Haziran 1752) Eğri Valiliğine ve bir müddet sonra da İç-il’e gönderildi. Mayıs 1754 tarihinde Adana’ya sonra ikinci defa Aydın ve 1173 Rebiyülevvelinde (Ekim 1759) Cerde Askerî Komutanlığı görevi ile Sayda ve Trablusşam eyaletine vali tayin olundu. Kısa zaman sonra Aralık 1759’da Hac Emirliği görevi ile Şam Valiliğine getirildi. Vazifesinde tedbirli, kararlı ve bıkmayan bir çalışma üslûbuna sahip olan Mehmet Paşa, Kasım 1760 tarihinde ikinci defa olarak Rakka Valiliğine tayin oldu. Bir yıla yakın bir süre bu görevde kaldıktan sonra Safer 1175 (Eylül 1761) de tekrar Konya Valiliği kendisine tevcih edildi. Konya’dan 1762’de ikinci defa olarak Adana’ya vazifelendirildi. Recep 1177 (Ocak 1764)’de Anadolu Valiliğine, oradan da Muharrem 1178 (Temmuz 1764) tarihinde üçüncü defa olarak Konya Valiliğine getirildi. Kısa bir süre Konya’da görev yaptıktan sonra tekrar Adana Valiliğine tayin edildi ise de Adana’ya hareketinden önce 1179 Muharrem (Temmuz 1765)’de Konya’da vefat etti.
Mehmet Süreyya onun vasıflarını belirtirken “Kaviyyü’l-azîme, şedidü’ş-şekîme, müdebbir ve muktedir” bir kişi olarak ifade eder.
Çelik Mehmet Paşa Konya Valiliğine üçüncü defa tayininden sonra görevi esnasında Konya’nın Ovalıoğlu Mahallesi’nde bir cami ve bir de medrese yaptırdı. Medrese son zamanda yıkılmış; caminin ismine bulunduğu mahalleye izafeten Ovalıoğlu Camii* denilmiştir. Dört duvar üzerine toprak dam örtülü olarak inşa edilen caminin tek şerefeli olan minare kaidesinin doğu tarafındaki kitabede banisi “Mehmet Paşa” ve inşa tarihi 1178 (1764) olarak zikredilmiştir.
Konya’da vefat eden Çelik Mehmet Paşa, Şems Mezarlığına defnedildi. Mezarlığın kaldırılması sırasında mezar taşı, oğlu İbrahim Bey’in mezar taşı ile birlikte Konya Müzesi’ne nakledilmiştir.
Çelik Mehmet Paşa’nın mezar taşı kitabesinin metni günümüz alfabesiyle şöyledir:
“Çelik Pâşâ-yı âlî câhe rahmet eylesün Mevlâ
Gazâda seyf-i sârim idi hakka mazhâr-ı himmet
Polad Pâşâ gibi zâtın zuhûr-ı sulb-i pâkinden
Metânetde yegâne hüsn-i tedbîrinde bî-minnet
Lebib-âsâ duâ-gûyân okurlar bî-riyâ târih
Makâm olsun Çelik Pâşâ’ya bâb-ı vâye-i cennet
el-fâtiha sene 1179”
Çelik Mehmet Paşa’nın ölümü üzerine Konya şeriye siciline dercedilen tereke kaydına bakıldığında eşya ve mallarının kuru bir listesinin sıralanmış olmadığını, onun medenî hali, aile durumuna dair bilgileri, hayat tarzını, tasarrufundaki her türlü giyim ve ev eşyası, borçları, özel zevkleri, bağ, bahçe, ev ve çiftlik gibi gayrimenkul malları ve bunların değerleri görülebilir. Bunlar arasında çok sayıda saat, hançer, tabanca, at, binek takımı, halı, kilim, altın, gümüş ve kıymetli taşlı ziynet eşyaları ve ev eşyaları dikkat çekmektedir.
Bu kayıtlarda Çelik Mehmet Paşa’nın Hacı Züleyha adında bir hanımı, Ümm-i Veled Leyla, Mahbube ve Hanım adlı cariyeleri zikredilir. Çocukları ise Züleyha Hanım’dan İbrahim Bey, diğerlerinden ise Hasan, Ali, Hüseyin, Zübeyde ve Muhibbane’nin isimleri belirtilir. Çocuklarından İbrahim Bey kapıcıbaşı ve beylerbeyi olmuş, sonra vezirlik payesi tevdi edilip, Kayseri, Alaiyye ve İç-il mutasarrıflıklarında bulunmuş; 25 Aralık 1814’te de Konya’da vefat etmiştir.